行列式(determinant)是线性代数中的一节重要内容，不过学了就像没学一样，没有深刻的体会，不知道行列式有何用。这几天在最优化理论的学习过程中遇到了二次型函数、正定矩阵，以及正定判定问题，这又引发了我对行列式的思考：行列式到底是啥，它有什么用？
于是我从网上找到了麻省理工的现代公开课，看看他们是如何阐释行列式的。以下是本节课的内容概要：
什么是行列式？
三个性质决定什么是行列式：
- $det I = 1$
- 交换任意两行，行列式的值取反（加一个负号）
- 本性质有两个子性质（加法性质与数乘性质：不满足线性规律）
(3a) 行乘法 $\left|\begin{matrix}ta&tb\\c&d\end{matrix}\right| = t\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|$
(3b) 行加法 $\left|\begin{matrix}a+e&b+f\\c&d\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}e&f\\c&d\end{matrix}\right|$
根据这三个性质可以得到以下推论：
- 一个矩阵的两行相同，其行列式为0（可从性质2推断）
- 矩阵任意一行乘上任意数，加到任意一行上，矩阵的行列式不变（可从推论1推断）这意味着消元操作不影响行列式的值
- 矩阵的某一行都为0，其行列式为0（可从性质3推断）
- 上三角矩阵的行列式为对角所有元素的乘积（从推论2可知，上三角矩阵与其，将上三角除对角线所有元素清零所构成的对角矩阵的行列式相同，然后通过性质3即可推断）
- 当矩阵为奇异矩阵时，行列式为0（可通过推论3推断）
- $det AB = (det A)(det B)$（未给出证明）
- $|A^T|=|A|$（可以通过LU分解以及推论4证明）
所以行列式有什么意义？
行列式的性质没有给出行列式值的具体计算方法，但是从推论中可以得到：
当矩阵可逆时，其值为通过消元得到的对角矩阵的对角元素的乘积
当矩阵为奇异时，其值为0
由此我们可以通过行列式是否为0来判断矩阵是否为奇异矩阵。（然而现在现行的软件例如matlab进行行列式求解用的方法，都是通过消元得到上三角矩阵，然后将对角线上的元素相乘。不过如果得到了上三角矩阵，可以直接判断最后一行是否全零，如果全零就是奇异矩阵了。。。感觉这两个操作是等同的，其根本都是得到上三角矩阵。。。）
参考资料：
麻省理工公开课：http://open.163.com/movie/2010/11/5/0/M6V0BQC4M_M6V2AP150.html
附：
关于线代的用途，在知乎上有一个赞同很多的回答，有些看不懂，这里就先记下，以后慢慢咀嚼
回答链接：https://www.zhihu.com/question/36845076